alzaz et son graal

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg – 6 janvier 1918, Halle), dit Cantor tout court, génie mathématicien… Rassurez-vous, je vous passe la majeure partie des raisonnements sur l’infini.

Autre fait de la science qu’ausculte, dans les années 1970-1980, l’épistémologue Pierre Thuillier. Son opinion est celle du penseur qui se veut objectif ; il écarte donc l’existence d’arrière-monde, par respect du principe d’économie, pour ne composer qu‘avec celui-ci. Le scientifique, tout comme l’épistémologue par ailleurs, cherche à comprendre les choses telles qu’elles sont et non telles qu’on voudrait qu’elles soient. L’alchimiste, grand enfant bourré d‘imagination, ne trouve presque jamais l’objet de sa quête et pourtant nombre de « savants » pensent un jour réussir à montrer que Dieu ne joue pas aux dés ou encore qu’il a écrit l’Univers en langage mathématique. Ce sera le cas de ce mathématicien de génie auquel on doit tout de même la découverte des ensembles mathématiques -science qui a mis près d’un siècle à s’imposer dans les programmes scolaires des années 1970 avant d’être abandonnée tant elle est difficilement assimilable par les élèves. L’amour des mathématiques que les hommes attribuent à Dieu ne date pas d’hier. Platon pensait très fort que les dieux passaient une bonne partie de leur temps à faire de la géométrie. Johannes Kepler était persuadé que celui d’Abraham avait écrit le monde sur une partition musicale, la musique étant une forme particulière dans la mathématique, chaque planète possédant un gamme propre ; cela n‘a pas convaincu la communauté des mathématiciens. Leibniz, de son côté, déclara que le monde était tout bonnement le résultat d’un calcul divin.

Avant le XVIIème siècle, l’Eglise a joué un rôle assez remarquable dans l’évolution des mathématiques. Elle en était aussi le frein, paradoxalement. Les Lumières ont permis au moins d’effectuer une répartition des tâches, les mathématiciens s’occupant peu à peu uniquement de mathématiques et l’Eglise devant se contenter de théologie. Les mathématiques ne doivent avoir aucun lien à la morale, elle ne font que produire des axiomes, des théorèmes et résoudre des équations… Cantor est un mathématicien, il n’y a pas de doute ; on lui doit non seulement la théorie des ensembles mais aussi tout un champ d’investigation laissé libre après sa mort sur les nombres transfinis (gasp !) et l’hypothèse du continu concernant les liens entre ces nouveaux ensembles (re-gasp !).
Thuillier lui reproche immédiatement d’avoir copiné avec le pape Léon XIII et n’hésite pas à le traiter de « dernier des obscurantistes ». Si c’est le droit de Cantor de vouloir prouver la compatibilité de ses théories avec celles de l’Eglise, l’on est en droit également de douter du bien fondé d’une telle croyance. Mais il serait dommage de rejeter par ignorance volontaire des questions qui taraudent l‘homme depuis toujours, la métaphysique l’habitant tout autant que la science l‘attire. Je dirai même que le non-naturel complexe lui sied beaucoup plus dans la réalité que le simple vrai (Relire Le faux le vrai).

Toute la problématique de Cantor réside dans le fait que le monde est bien infini, comme l’affirma Giordano Bruno avant d’être mis sur le bûcher en 1600, et que cet infini échappe à notre sens, même mathématique. S’appuyant sur les écrits de (saint) Augustin (Vème siècle) qui affirme par démonstration théologale que Dieu seul peut penser l’infini comme une chose complète (!), Cantor veut offrir à l’humanité la possibilité d’approcher cette capacité divine en créant la notion d’infini actuel ou infini donné de façon immédiate ou encore infini complètement déterminé (re-re-gasp !). Il invente pour ce faire la notion de nombres transfinis. Pour donner un exemple, je peux citer l’ensemble de nombres pairs qui représentent bien un ensemble infini de nombres mais appréhensible par l’esprit bien qu’il soit difficile de le faire réellement. L’ensemble des nombres pairs serait donc constitué de nombres transfinis. Le fait de définir quelque chose d’infini, par définition incohérent, en a fait bondir plus d’un. On ne peut en effet délimiter quelque chose qui n’a pas de limite. Pour ceux qui ne suivent pas, quel est le plus grand des nombres pairs ? Vouloir se faire précis dans l’infini est impossible. On peut toujours aller plus loin ou, à l’inverse pour ce qui est de l’infiniment petit, on peut toujours diviser un peu plus un intervalle. Définir l’infini est un paradoxe sur lequel certains s’acharnent encore.
Pas d’accord avec Cantor était l’Eglise au départ car elle s’en tenait à ce qu’avait écrit (saint) Thomas d’Aquin : Dieu seul est infini et Il n’a pas un seul de ses doigts de pieds dans la nature, dont elle s’entête sur sa présumée finitude. Il semblerait qu’Augustin la convainquit du contraire, au moins partiellement, l‘Eglise n‘ayant pas encore adopté l‘attitude panthéiste. Ce sont les mathématiciens qui commençaient à tourner le dos à Cantor qui n’arrivait pas à formuler la nouvelle axiomatique sur son infini actuel.

Rappelons que les nombres peuvent être placés selon leurs propriétés dans différents ensembles. Si les nombres naturels (N) ont mis des milliers d’années à se faire concept, il en a été plus rudement mais moins durablement pour les nombres irrationnels et complexes. Le plus dure ayant été de leur donner une définition claire et de monter un système mathématique sans contradiction dans la pratique. Cantor est bien conscient de cet impératif.
Afin de satisfaire à l’ordre mathématique, il énonça que les nombres transfinis n’étaient dans un certain sens que de nouveaux nombres irrationnels, qui ne posaient plus aucun problème, eux, à la raison. Ainsi, juste après un nombre entier n donné, il existe un nombre w tel qu’il est le plus petit nombre qu’on peut déterminer et plus grand que cet entier (groumf). Le petit génie ne résolvait pas pour autant le problème d’infini actuel pour ses « irrationnels » transfinis…
L’opposant le plus farouche à Cantor fut le mathématicien Léopold Kronecker. Pour lui, les jongleries avec les nombres infinis sont à proscrire et les irrationnels ne sont que des symboles sans existence formelle -pourtant, ils sont bien réels puisqu‘on les utilisent. Le monde est après tout fait de choses entières, donc finies.

Conscient de l’exactitude de cette vision, il n’en démordait pas moins en affirmant qu’en se cantonnant au simple rationalisme on s’empêchait de progresser. Il fallait donc aborder la problématique du transfini par le questionnement, jusque dans l’irrationalité s’il le fallait, en se jetant dans la pure métaphysique, pourquoi pas. Simple rappel, la métaphysique est à mettre en rapport avec le pourquoi des choses quand la science n’est lié qu’à leur comment. Une bien grande différence.
C’est alors que Cantor se livre à une joute intellectuelle sur la subjectivité des nombres : ou bien les nombres entiers existent en définition dans la pensée (immanence des nombres ou réalité intrasubjective), ou bien ils existent dans le monde extérieur (transience des nombres ou réalité transsubjective). Que les nombres soient idéaux ou physiques, ils sont dans tous les cas bien réels. Le mathématicien ne crée pas au sens strict mais met à jour des choses qui existent déjà dans l’Univers (le grand tout auquel on appartient). Cantor est alors persuadé d’avoir réglé la question et de pouvoir enfin s’adonner aux mathématiques libres.
Il semblerait que l’obsession d’un dieu intervenant mathématiquement dans la vie de tous les jours ait empêché Cantor de rendre formels ses nombres transfinis. Il s’est lancé à corps perdu dans une sorte de spéculation ontologique par laquelle il n’invente pas au sens de mettre à jour de l’existant mais crée un arrière monde pour ses fameux nombres tout comme Platon en fait un pour les idées-formes (Relire C’est quoi l’idéal ?).

C’est ici qu’entre en scène l’Eglise. Cantor s’en remet à elle pour intégrer sa nouvelle théorie sur l’infini à la théologie du Vatican et écrit à ce propos : « Pour la première fois, grâce à moi, la philosophie chrétienne disposera de sa vraie théorie de l’infini ».
Cela ne pouvait tomber mieux car quelques temps auparavant, le pape Léon XIII avait publié une encyclique (Aeterni Patris) appelant au rapprochement de l’Eglise et de la science. Non pas par soucis subit d’une réalité matérialiste de celle-ci mais plutôt pour damer le pion aux mécréants et leur indiquer « comment il fallait s’y prendre pour se réconcilier avec les vrais principes de la philosophie chrétienne. » Cela gratouillait depuis des lustres quelques scientifiques qui s’empressèrent de créer un mouvement dit néo-thomiste.

C’est donc dans un esprit théologien que l’on s’est emparé de l’infini cantorien, chacun le mettant à sa petite sauce pour défendre sa propre conception du monde divin. Même les critiques restent d’ordre théologal. Si pour nous il est difficile de concevoir la complétude de l’infini, Dieu ne connaît pas cet inconvénient car il voit l’ensemble des nombres tel qu’on n’a pas besoin d’en rajouter un (balèze quand même ce dieu, normal, c‘est Dieu). Le nombre p qui ne finit jamais en décimales serait en fait un nombre fini dans l’idéal ! Tout les mathématiciens, même les plus séduits par la théorie de Cantor, n’arrivent toujours pas à concevoir les nombres comme des entités existant dans la réalité du monde (transience). Un nombre est-il concret ou abstrait ? La question semble sans solution. Toujours est-il que Cantor se heurtait aux théologiens méfiants de ce que la notion d’une nature non naturée car infinie nous conduirait au redoutable panthéisme (Dieu partout dans la nature, donc en l’homme -> sans péché…). Au diable le spinozisme, au bûcher les Giordano Bruno !
Pour plaire au pape, Cantor explique qu’il y a une différence entre l’infini absolu de Dieu (Infinitum æternam increatum sive Absolutum) et l’infini actuel du mathématicien (Infinitum cratægus sive Transfinitum). Seul le deuxième est à notre portée, nous voilà rassurés, l’infini du transfini n’est pas infini (sacrés théologiens). Ouf ! On l’a échappé belle. Nous n’abritons aucune parcelle divine. Une acceptation ecclésiale qui ne faisait que conforter un peu plus, en tout cas, notre mathématicien de génie.

Le rapport qu’a entretenu Cantor à l’Eglise pose des questions si l’on veut comprendre sa démarche. Certains le disent d’origine juive alors qu’on le sait baptisé et éduqué dans l’Eglise évangélique luthérienne. Comment ce rapprochement soudain a-t-il pu avoir lieu entre le mathématicien et l’Eglise catholique ? Rappelons que Kronecker était tellement opposé à Cantor qu’il est allé jusqu’à essayer d’interdire une de ses publications. Un journal important lui a d’ailleurs refusé l’édition de sa nouvelle théorie des types d’ordre. Peu l’encourageaient, il faut le reconnaître.
Vers l’âge de 40 ans, à la même époque, il fait une dépression nerveuse qui l’oblige à consulter les psychiatres puis, vers la fin de sa vie, à des internements de plus en plus fréquents en hôpital psychiatrique. Peut-être a-t-il trouvé du réconfort auprès des gens d’Eglise mais une chose est certaine, adolescent il avait manifesté déjà un côté mystique en évoquant ses pouvoirs qu’il tenait de Dieu. Au premier temps de sa dépression, les lettres que nous avons de lui montrent comment il se sert de cet argument pour défendre sa thèse : ce n’est pas Cantor qui l’avait écrite mais Dieu qui la lui avait inspirée.
Son engouement mystique lui fera même dire qu’il aura finalement mieux servi Dieu et l’Eglise que les mathématiques, qu‘il reconnaît apparemment comme inférieures à la foi catholique.

Persuadé d’avoir dévoilé un grand mystère pour le meilleur de l’humanité, celui de la puissance divine, il mourra pathologiquement bien atteint. De deux choses l’une, ou bien on le juge fou depuis son plus jeune âge et son œuvre ne doit être appréhendée que de manière formelle, mathématique ; ou bien c’est un génie et l’on doit aborder sa théorie avec la plus grande attention, « au niveau de la révélation ontologique », comme « une théologie mathématique » selon les expressions de Pierre Thuillier.
Si tout cela a du sens, si Cantor a bien été un illuminé au sens de la lucidité et non au sens pathologique, il est possible qu’un jour on tire quelque grande chose très positive de sa vision de l’infini transfini. A condition seulement d’accepter en même temps une certaine métaphysique idéaliste dans la science. Vade rétro disent les vrais scientifiques, ça pas possible sans déconstruire la science.
Dernier petit rappel : la Renaissance a été le temps de la déconstruction du christianisme, il en faudrait une autre pour faire un monde qui dépace à nouveau ses limites.
Fixez le point central le temps qu’il est nécessaire… magique ou scientifique ?